Moto rettilineo uniforme e uniformemente accelerato

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1) Introduzione
2) Le parole che servono: posizione, spostamento, velocità, accelerazione
3) Moto rettilineo uniforme: quando la velocità non cambia
4) Le formule del moto uniforme, e come si ricavano
5) Moto uniformemente accelerato: quando la velocità cambia sempre allo stesso modo
6) Le formule del moto accelerato, e come si ricavano
7) Leggere i grafici: posizione-tempo e velocità-tempo
8) La caduta libera: il caso più famoso
9) Errori da non fare
10) Esercizi svolti passo passo
11) Domande frequenti
12) Conclusioni

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Introduzione

Vai in autostrada a 130 km/h. Guardi il telefono per un secondo. In quel secondo l'auto percorre 36 metri senza che nessuno stia guardando la strada: otto utilitarie in fila, e i freni non li hai ancora sfiorati. Quando li premi, l'auto percorre altre decine di metri prima di fermarsi.

In quell'episodio ci sono tutti e due i moti di cui parla questa guida, uno di seguito all'altro. Nel secondo di reazione la velocità non cambia: è moto rettilineo uniforme. Da quando i freni mordono in poi la velocità cala della stessa quantità ogni secondo: è moto uniformemente accelerato. Nei manuali di teoria per la patente la somma dei due pezzi si chiama spazio di arresto.

Questa guida è pensata per il biennio delle superiori. Non servono le derivate né gli integrali: serve saper ricavare da una formula la grandezza che ti manca, e qui lo facciamo passo passo ogni volta.

Una cosa va messa in chiaro subito. In questo articolo non ci chiediamo mai chi spinge. Ci chiediamo solo dove sta un corpo e quanto va veloce. Questa parte della fisica si chiama cinematica: descrive il movimento senza occuparsi delle sue cause. Delle cause, cioè delle forze, si occupa l'articolo sulle leggi di Newton spiegate con esempi di tutti i giorni, e ci torneremo ogni volta che i due discorsi si incrociano.

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Le parole che servono: posizione, spostamento, velocità, accelerazione

Prima delle formule servono quattro parole. Prendile sul serio, perché quasi tutti gli errori nascono qui.

Posizione (s). Scegli un punto come origine, scegli un verso positivo, disegna un asse: la posizione è il numero che dice dove sta il corpo su quell'asse. Può essere negativa, e non c'è niente di strano: significa solo che il corpo sta dalla parte opposta rispetto al verso che hai scelto tu.

La linea che il corpo disegna nello spazio mentre si muove si chiama traiettoria. In tutto questo articolo la traiettoria è una retta, ed è per questo che si parla di moto rettilineo.

Spostamento (Δs). È la differenza fra posizione finale e posizione iniziale: Δs = s − s₀. Il triangolino Δ ("delta") si legge "variazione di", e vuol dire sempre dopo meno prima.

Attenzione: lo spostamento non è lo spazio percorso. Se esci di casa in bici, vai a scuola, che dista 2 km, e torni, il contachilometri segna 4 km di spazio percorso, ma il tuo spostamento è zero, perché sei di nuovo dove eri.

Velocità. La velocità media è lo spostamento diviso il tempo impiegato:

v_m = Δs / Δt

Cioè: quanti metri percorri ogni secondo. Si misura in metri al secondo (m/s).

Finché il corpo va sempre nello stesso verso, spostamento e spazio percorso coincidono e non c'è nessuna ambiguità: è il caso di tutti gli esercizi di questa guida. Quando invece il corpo torna indietro le due cose si separano, e allora bisogna dire quale delle due stai dividendo per il tempo:


Nel giro in bici di prima la prima vale zero, la seconda no. Quando dici "ho fatto Milano-Bologna a una media di 90 all'ora" stai usando la seconda.

La velocità istantanea (v) è invece il numero che segna il tachimetro in questo preciso momento: è la velocità media calcolata su un intervallo di tempo piccolissimo. Da qui in avanti v senza indici è la velocità istantanea, v₀ è quella di partenza, v_m è la media.

Accelerazione (a). È la variazione di velocità diviso il tempo impiegato:

a = Δv / Δt = (v − v₀) / Δt

Si misura in metri al secondo, al secondo: m/s². Leggila proprio così, letteralmente: se un'accelerazione vale 2 m/s², dopo un secondo vai 2 m/s più veloce, dopo due secondi 4 m/s più veloce. L'unità di misura è già la spiegazione.

Tieni a mente una cosa sola, perché regge tutto il resto: la velocità è la variazione della posizione, l'accelerazione è la variazione della velocità. Non sono grandezze diverse per natura: sono la stessa operazione applicata a due piani diversi.

Ecco perché la scrittura a = v/t va maneggiata con attenzione. È una scorciatoia lecita solo se il corpo parte da fermo (v₀ = 0) e fai partire il cronometro da zero: in quel caso Δv coincide con v e Δt con t. In tutti gli altri casi serve a = Δv/Δt, altrimenti stai mettendo un numero singolo dove ci vuole una differenza.

L'accelerazione è anche la lettera che compare in F = m·a. Se vuoi vederla dal lato opposto, quello delle cause, la definizione dal punto di vista delle forze è nella guida alle leggi di Newton: è la stessa grandezza, guardata dall'altra parte.

Conversione obbligatoria. Gli esercizi danno le velocità in km/h, le formule le vogliono in m/s. Da km/h a m/s dividi per 3,6; nell'altro verso moltiplichi. Non è magia: 1 km sono 1000 m e 1 ora sono 3600 s, quindi 1 km/h = 1000/3600 m/s = 1/3,6 m/s. Controllo rapido: 36 km/h = 10 m/s.

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Moto rettilineo uniforme: quando la velocità non cambia

Un ciclomotore 50 cc, per legge, non può superare i 45 km/h. Se su una strada dritta e piatta tieni il gas fermo, quei 45 km/h (cioè 12,5 m/s) restano gli stessi minuto dopo minuto: ogni secondo percorri 12,5 metri.

Questo è il moto rettilineo uniforme (MRU): traiettoria dritta e velocità costante in valore e in verso. "Rettilineo" e "uniforme" sono due aggettivi diversi e vanno letti separatamente: rettilineo vuol dire che la strada è dritta, uniforme vuol dire che la velocità non cambia. Un'auto che accelera su un rettilineo, per esempio, si muove di moto rettilineo ma non uniforme.

E in curva? Se affronti una curva con il tachimetro fermo sui 50, il numero non cambia ma la direzione della velocità sì, istante per istante. La velocità sta cambiando, quindi un'accelerazione c'è (punta verso il centro della curva). Quel caso non è il moto di cui parliamo qui: si chiama moto circolare uniforme, e lì la parola "uniforme" si riferisce solo al numero segnato dal tachimetro. Nel nostro caso significa che non cambia né il valore né il verso.

Detto in termini di accelerazione: nel MRU a = 0. E qui arriva il primo scoglio serio.

Accelerazione zero non significa "fermo". Significa "la velocità non cambia". Un'auto ferma al semaforo ha velocità zero e accelerazione zero. Un'auto in autostrada con il cruise control (il regolatore che tiene da solo la velocità) a 130 km/h ha velocità enorme e accelerazione esattamente zero. Se accelerazione nulla volesse dire corpo fermo, il moto rettilineo uniforme non esisterebbe proprio.

L'esempio più spettacolare è il paracadutista. Dopo una decina di secondi di caduta la resistenza dell'aria cresce fino a bilanciare il peso: da quel momento la velocità smette di aumentare e si stabilizza intorno ai 200 km/h a pancia in giù. Sta scendendo a duecento all'ora, ed è in moto rettilineo uniforme. "Uniforme" non vuol dire lento né tranquillo. Il motivo per cui la velocità si blocca lì riguarda due forze che si annullano fra loro (la loro somma, che si chiama risultante, diventa zero) ed è spiegato nella guida alle leggi di Newton. Per noi conta solo il risultato: da quell'istante in poi la descrizione del moto è la più semplice che esista.

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Le formule del moto uniforme, e come si ricavano

Se ogni secondo percorri sempre gli stessi metri, lo spazio percorso è la velocità moltiplicata per il tempo. Da qui la legge oraria del MRU, cioè la formula che dice dove si trova il corpo istante per istante:

s = s₀ + v·t

A parole: la posizione al tempo t è la posizione da cui sei partito (s₀) più i metri che hai macinato nel frattempo (v·t). Se metti l'origine dell'asse proprio dove parte il corpo, allora s₀ = 0 e resta il celebre s = v·t. Con i delta si scrive Δs = v·Δt, che è la stessa identica cosa.

Come si ricavano le altre formule. Non impararle a memoria. Sono una sola uguaglianza, "girata" per isolare di volta in volta la lettera che ti manca: esattamente l'algebra della prima superiore.


Come trovi il tempo avendo lo spazio e la velocità? Dividi lo spazio per la velocità. Non è fisica, è algebra.

Da dove escono i 36 metri dell'introduzione. Il tempo di reazione di chi guida vale, per convenzione, 1 secondo. A 130 km/h, cioè 36,1 m/s, in quel secondo l'auto percorre s = 36,1 · 1 ≈ 36 metri. La tabella che studi per la patente non è altro che questa formula con t = 1 s:


Un secondo, però, è il valore di comodo: nella realtà il tempo di reazione va da 1 a 2 secondi e peggiora con la stanchezza e con le distrazioni. Con 2 secondi tutti i numeri della tabella raddoppiano, e sono metri percorsi prima ancora di toccare il freno.

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Moto uniformemente accelerato: quando la velocità cambia sempre allo stesso modo

Premi il gas a fondo e la velocità sale. Premi il freno a fondo e scende. In tutti e due i casi, finché la spinta resta la stessa, la velocità cambia della stessa quantità ogni secondo.

Questo è il moto uniformemente accelerato (MRUA): un moto in cui l'accelerazione resta costante. Non importa a che velocità sei: ogni secondo la velocità guadagna (o perde) sempre gli stessi m/s.

Quanto vale, in pratica, un'accelerazione? Il numero da solo non dice niente finché non hai qualcosa con cui confrontarlo.


Da questa tabella si leggono due cose. La prima: veloce e "che accelera forte" non sono la stessa cosa. Il treno più veloce d'Italia, in ripresa, accelera circa cinque volte meno di un'utilitaria che in velocità massima non gli starebbe dietro nemmeno per scherzo. La seconda: accelerare e frenare non sono simmetrici. Un'auto normale frena quattro volte più forte di quanto riesca ad accelerare, e con un valore vicino a quello della caduta libera. È anche il motivo per cui una frenata di emergenza ti scaraventa contro la cintura mentre una partenza in prima no, ma quel lato del discorso, la parte con le forze, sta nella guida alle leggi di Newton.

Una precisazione onesta: quelli sono valori medi. Sono calcolati come Δv/Δt sull'intera manovra. Nella realtà un'auto cambia marcia e un treno perde spinta man mano che va veloce, quindi la loro accelerazione non è affatto costante istante per istante. Il moto uniformemente accelerato è un modello: descrive bene certi tratti di realtà, non tutta. Il caso in cui funziona meglio è proprio la frenata a fondo: passati i primi decimi di secondo, in cui l'impianto frenante sta ancora salendo di pressione, l'accelerazione resta quasi costante fino all'arresto.

Il modo di Galileo per vedere il t². Prendi un corpo che parte da fermo e guarda che spazio percorre in intervalli di tempo uguali e consecutivi. Non percorre sempre lo stesso spazio: percorre spazi che stanno fra loro come i numeri dispari, cioè 1, 3, 5, 7. Nel secondo intervallo copre il triplo del primo, nel terzo il quintuplo. Se li sommi, le distanze totali dalla partenza vanno come i quadrati: 1, 4, 9, 16. È da qui che nasce il t² della formula che vedrai fra poco.

Perché lo spazio di frenata quadruplica. Adesso quel t² si può usare. Se raddoppi la velocità di partenza, con la stessa accelerazione ci metti il doppio del tempo a fermarti: la velocità deve scendere del doppio e scende sempre allo stesso ritmo. Ma in un tempo doppio, con accelerazione costante, percorri quattro volte lo spazio, perché il tempo nella formula è al quadrato. Risultato: da 100 km/h ti fermi in circa quattro volte lo spazio che ti serve da 50 km/h, non nel doppio. È il motivo per cui i limiti in città sembrano bassi e non lo sono.

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Le formule del moto accelerato, e come si ricavano

Servono due formule, più due che fanno risparmiare tempo.

1. Come cambia la velocità:

v = v₀ + a·t

A parole: la velocità che hai adesso è quella di partenza più quello che hai guadagnato accelerando. Se acceleri a 2 m/s² partendo da 10 m/s, dopo 3 secondi vai a 10 + 6 = 16 m/s.

2. Come cambia la posizione (la legge oraria):

s = s₀ + v₀·t + ½·a·t²

Tre pezzi, e ognuno vuol dire una cosa precisa. s₀ è da dove sei partito. v₀·t è lo spazio che avresti fatto tenendo la velocità iniziale, senza accelerare. ½·a·t² è lo spazio in più (o in meno) dovuto al fatto che la velocità sta cambiando.

Metti a = 0 e l'ultimo termine sparisce: resta s = s₀ + v₀·t, cioè la formula del moto uniforme. Non sono due mondi separati: il MRU è il caso particolare con accelerazione nulla. Quando parti da fermo e dall'origine (v₀ = 0 e s₀ = 0) le due formule si riducono a v = a·t e s = ½·a·t².

3. La formula senza il tempo, che in Italia si chiama equazione di Torricelli (dal fisico Evangelista Torricelli, quello del barometro; nei libri stranieri spesso non ha nome e la trovi come "terza equazione del moto"):

v² = v₀² + 2·a·Δs

Serve quando il tempo non ti viene dato e non ti viene chiesto: lega direttamente velocità e spazio. È la formula degli esercizi di frenata.

4. La velocità media, quando l'accelerazione è costante:

v_m = (v₀ + v) / 2, e quindi Δs = ½·(v₀ + v)·t

Vale solo con accelerazione costante, ma quando vale è comodissima: se conosci le due velocità e lo spazio, ti dà il tempo senza passare dall'accelerazione.

Come si girano.


L'ultima riga è la trappola classica: da s = ½·a·t² il tempo non è 2s/a. La t è al quadrato, quindi dopo aver isolato t² devi estrarre la radice.

Una parola con due sensi. Nella lingua di tutti i giorni "accelerare" vuol dire "andare più veloce". In fisica accelerare vuol dire "cambiare velocità", e quindi anche frenare è accelerare, con il segno meno. È la doppiezza che genera metà degli equivoci del capitolo: da qui in avanti, quando serve il senso quotidiano, lo scriviamo per esteso ("la velocità aumenta").

I segni, una volta per tutte. Il segno della velocità dice in che verso ti muovi rispetto all'asse che hai disegnato tu. Il segno dell'accelerazione dice in che verso sta cambiando la velocità. Nessuno dei due, da solo, dice se stai frenando.


La regola sta in una riga: stesso segno, la velocità aumenta; segni opposti, la velocità diminuisce. E se giri la freccia dell'asse tutti i segni si ribaltano, ma l'auto fa esattamente la stessa cosa: un fatto fisico non può dipendere da come hai disegnato la freccia. Nella guida alle leggi di Newton la stessa idea compare dal lato delle forze, nella frase "frenare è accelerare con il segno meno"; qui puoi vederne il meccanismo sui numeri.

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Leggere i grafici: posizione-tempo e velocità-tempo

I grafici sono il punto in cui si perde più facilmente il filo, e il problema non è la matematica. Planinic e colleghi (International Journal of Science and Mathematics Education, 2012) hanno dato a 114 studenti croati di 15-16 anni le stesse domande sulla pendenza di una retta in due versioni: una in contesto matematico e una in contesto cinematico. Novanta insegnanti di fisica, interpellati prima, si aspettavano che la versione difficile fosse quella di matematica. È andata al contrario: gli stessi ragazzi se la cavavano meglio in matematica e sbagliavano quando la pendenza si chiamava "velocità". È un problema di traduzione, non di calcolo.

Il grafico posizione-tempo (s-t). Sui libri lo trovi spesso chiamato "spazio-tempo", ma sull'asse verticale c'è la posizione; su quello orizzontale c'è il tempo.

Nel MRU è una retta: il punto in cui tocca l'asse verticale è s₀, e la sua pendenza (quanto è ripida) è la velocità. Ripida in salita significa veloce in avanti, ripida in discesa veloce all'indietro, orizzontale significa fermo.

Nel MRUA la stessa curva diventa un arco di parabola, e ha due facce opposte:


Due avvertenze che valgono mezza verifica.

Il grafico non è la strada. Sull'asse orizzontale non c'è spazio, c'è tempo: quel disegno non è una fotografia del percorso visto dall'alto. Un'auto che va avanti e poi torna indietro su una strada perfettamente dritta produce un grafico che sale e poi scende, ma la strada resta dritta. Caso limite che chiarisce tutto: un oggetto fermo ha come traiettoria un punto, e come grafico s-t una retta orizzontale lunga quanto vuoi. Due disegni completamente diversi per lo stesso oggetto immobile.

Veloce vuol dire ripido, non alto. Un punto alto sul grafico significa lontano, non veloce. È uno degli errori più documentati che esistano: il test di riferimento per la lettura dei grafici di cinematica, messo a punto da Robert Beichner (American Journal of Physics, 1994, 895 studenti americani fra scuola superiore e università), individua proprio nello scambio fra altezza e pendenza, insieme al leggere il grafico come se fosse un disegno del percorso, la difficoltà che resiste più a lungo, università compresa.

Il grafico velocità-tempo (v-t). Qui in verticale c'è la velocità. Nel MRU è una retta orizzontale, perché la velocità non cambia. Nel MRUA è una retta inclinata, e la sua pendenza è l'accelerazione: in frenata scende fino a toccare lo zero.

L'area sotto il grafico v-t è lo spostamento. È la cosa più utile di tutta la sezione.


Quel "diviso due" nella formula del moto accelerato non è una magia da mandare a memoria: è il diviso due dell'area del triangolo. E il caso del trapezio è quello che ti serve davanti al grafico di una frenata, che parte in alto e scende.

Un'ultima precisazione, che è la stessa distinzione della sezione 2: l'area è lo spostamento. Finché la velocità resta positiva coincide con lo spazio percorso; se la velocità diventa negativa, cioè se il corpo torna indietro, quel pezzo di area va contato in negativo.

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La caduta libera: il caso più famoso

Lascia cadere qualcosa. Se trascuri l'aria, quel qualcosa è in moto uniformemente accelerato con un'accelerazione che non dipende da cosa hai lasciato cadere: l'accelerazione di gravità, che si indica con g e che a scuola si usa uguale a 9,81 m/s².

Prima delle formule, una scelta da dichiarare, visto quanto abbiamo insistito sui segni. Qui prendiamo come verso positivo quello verso il basso: così g è positiva e chiamiamo h lo spazio percorso in caduta, cioè di quanti metri il corpo è sceso. Se scegli positivo verso l'alto devi scrivere a = −g e tutti i segni si ribaltano.

Con questa scelta, e partendo da fermo, le formule della sezione 6 diventano:

v = g·t e h = ½·g·t², da cui t = √(2·h / g)


Sì, cadono davvero insieme. Un corpo pesante viene attirato più forte, ma è anche più difficile da mettere in movimento, e i due effetti si annullano esattamente. Quella cancellazione è tutta dentro F = m·a ed è spiegata nella guida alle leggi di Newton: qui ci basta il risultato, cioè che senza aria l'accelerazione di caduta è la stessa per tutti. Quello che vedi in cortile, la piuma che scende piano, non è la gravità: è l'aria.

La dimostrazione definitiva è del 2 agosto 1971. Sulla Luna, dove aria non ce n'è, il comandante dell'Apollo 15 David Scott lasciò cadere davanti alla telecamera un martello geologico e una piuma di falco. Toccarono il suolo insieme, e il video della NASA è ancora online.

Due precisazioni oneste. La prima riguarda Galileo: la storia delle palle lanciate dalla Torre di Pisa davanti alla folla è considerata dalla maggior parte degli storici una leggenda, nata dal Racconto istorico che il suo allievo Vincenzo Viviani scrisse nel 1654, più di sessant'anni dopo gli anni pisani di Galileo (1589-1592). Galileo lavorò soprattutto sul piano inclinato, e il motivo è cinematico: una caduta da 56 metri dura tre secondi e mezzo, e con gli strumenti dell'epoca, orologi ad acqua e il proprio polso, non era cronometrabile. Il piano inclinato rallenta lo stesso fenomeno e lo rende misurabile.

La seconda riguarda l'aria. La caduta libera "pura" dura poco. Senza aria, dopo 12 secondi si andrebbe a 424 km/h; nella realtà la resistenza cresce, l'accelerazione cala fino ad annullarsi e la velocità smette di aumentare intorno ai 200 km/h. Da lì in poi non è più caduta libera: è il paracadutista della sezione 3, in moto uniforme.

Nota per i pignoli: il valore convenzionale internazionale di g è 9,80665 m/s², e sulla superficie terrestre g varia davvero, fra circa 9,78 all'equatore e 9,83 ai poli. A scuola 9,81 va benissimo, e in molti esercizi si arrotonda a 9,8.

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Errori da non fare

Quasi tutti gli errori di cinematica sono varianti dello stesso: confondere una grandezza con la sua variazione. Ecco il promemoria da rileggere prima della verifica.


Un consiglio pratico che vale più di tutti: smetti di usare la parola "decelerazione". È la parola che genera l'equivoco. Di' "accelerazione" e scrivine il segno.

Poi ci sono due casi che meritano più di una riga.

La palla lanciata in aria. Nell'istante esatto in cui è al punto più alto la sua velocità è zero, ma la sua accelerazione no: vale g, verso il basso. Se in quell'istante fosse zero anche l'accelerazione, la velocità non avrebbe motivo di cambiare e la palla resterebbe sospesa lassù per sempre. Velocità nulla e accelerazione nulla sono due cose diverse.

La media delle velocità non è la velocità media. Fai 100 km a 100 km/h (ci metti 1 ora) e poi altri 100 km, sempre nello stesso verso, a 50 km/h (ci metti 2 ore). La media fra 100 e 50 farebbe 75 km/h, ma il conto giusto è 200 km in 3 ore, cioè 66,7 km/h. Il tratto lento pesa di più perché ci passi il doppio del tempo. La velocità media si calcola sempre dividendo lo spostamento per il tempo totale, mai facendo la media dei numeri.

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Esercizi svolti passo passo

Il metodo è sempre lo stesso, e vale anche per i problemi che qui non ci sono: scegli l'origine e il verso positivo, scrivi i dati con le unità, converti tutto in metri e secondi, scegli la formula, e solo alla fine sostituisci i numeri.

Esercizio 1 (MRU) - Quanto ci metto? Con un ciclomotore tieni i 45 km/h costanti. Quanto impieghi a fare 5 km? Dati: v = 45 km/h, Δs = 5 km. Conversione: 45 : 3,6 = 12,5 m/s; 5 km = 5000 m. Formula: da Δs = v·t ricavi t = Δs / v. Calcolo: t = 5000 / 12,5 = 400 s, cioè 6 minuti e 40 secondi. Variante con s₀ diverso da zero: se parti dal cartello del chilometro 12 e prendi come origine l'inizio della strada, dopo 400 s sei a s = s₀ + v·t = 12 000 + 12,5 · 400 = 12 000 + 5000 = 17 000 m, cioè al chilometro 17. La posizione iniziale non cambia il moto: sposta solo il punto da cui conti.

Esercizio 2 (MRUA) - Quanto vale una frenata? Freni a fondo da 100 km/h su asfalto asciutto e ti fermi in 48 metri. Quanto vale l'accelerazione e quanto dura la frenata? Dati: v₀ = 100 km/h = 27,8 m/s; v = 0; Δs = 48 m. Verso positivo: quello del moto. Formula: il tempo non è dato, quindi Torricelli. Da v² = v₀² + 2·a·Δs con v = 0 ricavi a = − v₀² / (2·Δs). Calcolo: a = − (27,8)² / (2 · 48) = − 772,84 / 96 = − 8,05 m/s². Il segno meno è corretto: l'accelerazione punta all'indietro rispetto al moto, ed è per questo che la velocità cala. Durata: usa la formula 4 della sezione 6, t = 2·Δs / (v₀ + v) = 96 / 27,8 = 3,45 s. Controllo: con t = (v − v₀)/a = (0 − 27,8) / (− 8,05) = 3,45 s. Torna.

Esercizio 3 (i due moti insieme) - Lo spazio di arresto. Vai a 100 km/h e devi inchiodare. Quanti metri servono in tutto, se il tempo di reazione è 1 secondo e la frenata è quella dell'esercizio 2? Fase 1, reazione, moto uniforme: la velocità non è ancora cambiata, quindi s₁ = v·t = 27,8 · 1 = 27,8 m. Fase 2, frenata, moto uniformemente accelerato: s₂ = 48 m. Totale: 27,8 + 48 = 75,8 m, cioè circa tre quarti di un campo da calcio. E se reagisci in 2 secondi? s₁ diventa 55,6 m e il totale sale a 103,6 m: un campo da calcio intero. È il numero da cui nasce la regola prudenziale delle autoscuole, che a 100 km/h parla di un centinaio di metri. Nota sul ghiaccio: lo spazio di frenata è Δs = v₀² / (2·a), quindi è inversamente proporzionale all'accelerazione. Sul ghiaccio l'attrito, cioè la presa fra gomma e asfalto, crolla: se l'accelerazione in frenata scende da 8 m/s² a 1 m/s², lo spazio si moltiplica per otto.

Esercizio 4 (caduta libera) - Da un palazzo di sei piani. Un oggetto cade da 20 metri. Quanto impiega e con che velocità arriva a terra? (Trascura l'aria, verso positivo verso il basso.) Dati: h = 20 m; v₀ = 0; g = 9,81 m/s². Formula: da h = ½·g·t² ricavi t = √(2·h / g). Occhio alla radice. Calcolo: t = √(40 / 9,81) = √4,08 = 2,02 s, cioè due secondi tondi. Velocità: v = g·t = 9,81 · 2,02 = 19,8 m/s, cioè circa 71 km/h. Da notare: il risultato non dipende dalla massa. Un sasso e un cellulare, da lì, arrivano insieme.

Esercizio 5 (grafici) - Lo spazio si legge dall'area. Un autobus fa questo percorso: parte da fermo e in 10 s arriva a 20 m/s; tiene i 20 m/s per 30 s; poi frena e si ferma in 5 s. Disegna il grafico v-t (una salita, un tratto orizzontale, una discesa) e ricava accelerazioni e spazio totale.


Spazio totale: 100 + 600 + 50 = 750 m in 45 s. Velocità media: 750 / 45 = 16,7 m/s. Nota che non è la media fra 0 e 20 m/s: la velocità media si ottiene sempre dividendo lo spostamento per il tempo totale.

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Domande frequenti

Come trovo il tempo avendo lo spazio e la velocità?
Nel moto uniforme t = Δs / v. Nel moto accelerato dipende dai dati: con le due velocità e lo spazio t = 2·Δs / (v₀ + v); con le due velocità e l'accelerazione t = (v − v₀) / a; partendo da fermo e conoscendo lo spazio t = √(2·s / a).

Che differenza c'è tra moto rettilineo e moto rettilineo uniforme?
"Rettilineo" descrive la traiettoria, cioè che la strada è dritta. "Uniforme" descrive la velocità, cioè che non cambia né in valore né in verso. Un moto rettilineo può benissimo essere accelerato.

Che cosa significa accelerazione negativa?
Che la variazione di velocità punta nel verso negativo dell'asse che hai scelto. Se il corpo si muove nel verso positivo sta rallentando; se si muove nel verso negativo sta andando indietro sempre più veloce.

Posso scrivere a = v/t?
Solo se il corpo parte da fermo e fai partire il cronometro da zero: in quel caso Δv coincide con v e Δt con t. In tutti gli altri casi serve a = Δv/Δt.

Perché nella formula c'è ½·a·t² e non a·t²?
Perché lo spazio è l'area sotto il grafico velocità-tempo, e partendo da fermo quell'area è un triangolo: base per altezza diviso due.

Il grafico spazio-tempo è la traiettoria?
No. Sull'asse orizzontale c'è il tempo, non lo spazio. Prima di leggere qualunque grafico leggi ad alta voce le etichette degli assi: risolve metà degli errori.

Servono le derivate per capire la cinematica al biennio?
No. La velocità istantanea si capisce benissimo come il numero che segna il tachimetro in quell'istante, e la pendenza di una retta si legge sul grafico a occhio.

E se la velocità cambia in modo irregolare?
Si chiama moto vario e i grafici diventano curve qualsiasi. I due moti di questa guida sono modelli: descrivono bene certi tratti di realtà, non tutta. I 100 metri di Usain Bolt a Berlino 2009 (9,58 s, media 10,44 m/s, massimo di circa 12,3 m/s intorno al 65° metro) non sono né uniformi né uniformemente accelerati.

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Conclusioni

Se devi portarti via una pagina sola, è questa.


E sotto tutte le formule c'è una sola idea: quasi ogni errore di cinematica nasce dal confondere una grandezza con la sua variazione. Posizione contro spostamento, velocità contro variazione di velocità, altezza del grafico contro pendenza del grafico. Ogni volta che ti blocchi, chiediti se ti serve un valore o una differenza, cioè se ci vuole o non ci vuole una Δ.

A questo punto hai in mano metà del lavoro: sai descrivere il movimento, dire dove sta un corpo, quanto va veloce e come cambia la sua velocità. L'altra metà è chiedersi perché quel movimento avvenga, e la risposta sta nelle forze: la trovi nella guida alle leggi di Newton spiegate con esempi di tutti i giorni, che è il seguito naturale di questa. E non è roba che finisce con la verifica di seconda: cinematica del punto materiale, legge oraria, moto uniforme e uniformemente accelerato compaiono tali e quali nell'elenco degli argomenti richiesti (il syllabus) di fisica dei TOLC, i test d'ingresso universitari gestiti dal consorzio CISIA.